BeispielMathematik11.–12. SchulstufeAbleitung, Extremstellen, Wendepunkte — fertiges Beispiel, nicht selbst erzeugt.Alle Beispiele
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Kurvendiskussion

Labor · Theorie · Zuordnung · Quiz

Funktions-Scanner

Wähle eine Funktion aus und bewege den Punkt (\(x_0\)) auf der Kurve. Die blaue Gerade zeigt dir die Tangente, also die Steigung (Ableitung \(f'(x_0)\)) an diesem Punkt.

Position \(P(x_0 | y_0)\) P(0.00 | 0.00)
Steigung \(f'(x_0)\) 0.00
MedAT-Wissen:
• Die 1. Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung der Tangente an.
• Ist \(f'(x) = 0\), liegt ein lokales Extremum (Hochpunkt/Tiefpunkt) oder ein Sattelpunkt vor.
• Die e-Funktion (\(e^x\)) ist ihre eigene Ableitung!

Theorie & Regeln

Die wichtigsten Begriffe, Ableitungsregeln und das Schema der Kurvendiskussion für den MedAT.

Nullstelle

\(f(x) = 0\)
Ein \(x\)-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.
  • Berechnung: Setze \(f(x) = 0\) und löse nach \(x\) auf.
  • Berührpunkt: Wenn die Nullstelle mit doppelter Vielfachheit vorkommt, berührt der Graph die x-Achse nur (z. B. bei \(x^2\)).

Extremstelle (Hoch-/Tiefpunkt)

\(f'(x) = 0\)
Ein Punkt, an dem die Funktion von Steigen zu Fallen wechselt (Hochpunkt) oder umgekehrt (Tiefpunkt).
  • Notwendige Bedingung: \(f'(x_0) = 0\) (waagrechte Tangente).
  • Hinreichende Bedingung: Wenn \(f''(x_0) < 0\) → Hochpunkt. Wenn \(f''(x_0) > 0\) → Tiefpunkt.
  • Sattelpunkt: Wenn auch \(f''(x_0) = 0\) → kein Extremum, sondern Sattelpunkt (Terrassenpunkt).

Wendepunkt

\(f''(x) = 0\)
Ein Punkt, an dem die Krümmung des Graphen wechselt (von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt).
  • Notwendige Bedingung: \(f''(x_0) = 0\).
  • Hinreichende Bedingung: \(f'''(x_0) \neq 0\) (Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung).

Monotonie & Krümmung

  • Monoton steigend: \(f'(x) > 0\) im Intervall.
  • Monoton fallend: \(f'(x) < 0\) im Intervall.
  • Linksgekrümmt (konvex): \(f''(x) > 0\) → "Schüssel".
  • Rechtsgekrümmt (konkav): \(f''(x) < 0\) → "Hügel".
NEW-Merkregel (Kurvendiskussion):
Nullstelle → \(f(x) = 0\)
Extremstelle → \(f'(x) = 0\)
Wendestelle → \(f''(x) = 0\)

Ableitungsregeln

Regel Funktion \(f(x)\) Ableitung \(f'(x)\)
Potenzregel \(x^n\) \(n \cdot x^{n-1}\)
Faktorregel \(c \cdot g(x)\) \(c \cdot g'(x)\)
Summenregel \(g(x) + h(x)\) \(g'(x) + h'(x)\)
Kettenregel \(g(h(x))\) \(g'(h(x)) \cdot h'(x)\)
Produktregel \(u(x) \cdot v(x)\) \(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
Quotientenregel \(\frac{u(x)}{v(x)}\) \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\)

Wichtige Ableitungen

Funktion \(f(x)\) Ableitung \(f'(x)\)
\(e^x\)\(e^x\)
\(\ln(x)\)\(\frac{1}{x}\)
\(\sin(x)\)\(\cos(x)\)
\(\cos(x)\)\(-\sin(x)\)
\(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\)\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Ableitungen zuordnen

Ordne der Funktion ihre korrekte Ableitung zu.

Modus wählen

0
Richtig
0
Fehler
12
Übrig

Funktion

Ableitung

Quiz 15 Fragen

Teste dein Wissen zur Differentialrechnung.

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