BeispielMathematik9.–12. SchulstufeWahrscheinlichkeit, Verteilungen — fertiges Beispiel, nicht selbst erzeugt.Alle Beispiele
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Stochastik

Wahrscheinlichkeit · Galton-Brett · Zuordnung · Quiz

Das Galton-Brett

Lasse Kugeln fallen! Jede Kugel trifft auf Stifte und fällt mit einer Wahrscheinlichkeit p nach rechts oder links. Unten entsteht die Binomialverteilung, die sich für große n der Gaußschen Normalverteilung annähert.

MedAT-Wissen: Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p\). Je größer \(n\) wird, desto mehr nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung (Glockenkurve) an.

Theorie & Regeln

Die wichtigsten stochastischen Grundbegriffe, Verteilungen und Formeln für den MedAT kompakt zusammengefasst.

Laplace-Experiment

\(P(E)\)
Ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Werfen eines fairen Würfels).
  • Formel: \(P(E) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\)

Binomialverteilung

\(B(n, p, k)\)
Beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von \(n\) unabhängigen Bernoulli-Versuchen (Experimenten mit nur 2 Ausgängen: Erfolg/Misserfolg), wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) konstant bleibt (Ziehen mit Zurücklegen).
  • Erwartungswert: \(\mu = n \cdot p\)
  • Varianz: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)\)

Normalverteilung

\(N(\mu, \sigma)\)
Eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung (Gaußsche Glockenkurve). Sie ist symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu\).
  • Etwa 68,3% der Werte liegen im Bereich \([\mu - \sigma, \mu + \sigma]\).
  • Etwa 95,4% der Werte liegen im Bereich \([\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]\).
  • Etwa 99,7% der Werte liegen im Bereich \([\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]\).

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

Regel Formel
Gegenereignis (\(\bar{A}\)) \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\)
Additionssatz \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
Multiplikationssatz (unabhängig) \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Kombinatorik

Situation Formel
Permutationen (alle n anordnen) \(n!\)
k aus n (mit Zurücklegen, mit Reihenfolge) \(n^k\)
k aus n (ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge) \(\frac{n!}{(n-k)!}\)
k aus n (ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge) \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Werte zuordnen

Trainiere wichtige Formeln und Begriffe der Stochastik.

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